Lineare Algebra Beispiele

$3 a - 2 y + 3 a = 5$ , $2 a + 4 y - Z = 2$

Schritt 1

Addiere $3 a$ und $3 a$ .

$6 a - 2 y = 5, 2 a + 4 y - Z = 2$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & 0 & 5 \\ 2 & 4 & - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{5}{6} \\ 2 & 4 & - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{6} \\ 2 & 4 & - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{6} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 (\frac{5}{6}) \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{6} \\ 0 & \frac{14}{3} & - 1 & \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{14}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{14}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{6} \\ \frac{3}{14} \cdot 0 & \frac{3}{14} \cdot \frac{14}{3} & \frac{3}{14} \cdot - 1 & \frac{3}{14} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{6} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{3}{14}) & \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{14} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{14} & \frac{6}{7} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a - \frac{Z}{14} = \frac{6}{7}$

$y - \frac{3 Z}{14} = \frac{1}{14}$

Schritt 5

Addiere $\frac{Z}{14}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = \frac{6}{7} + \frac{Z}{14}$

$y - \frac{3 Z}{14} = \frac{1}{14}$

Schritt 6

Addiere $\frac{3 Z}{14}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{1}{14} + \frac{3 Z}{14}$

$a = \frac{6}{7} + \frac{Z}{14}$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{6}{7} + \frac{Z}{14}, \frac{1}{14} + \frac{3 Z}{14}, Z)$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ y \\ Z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{7} + \frac{Z}{14} \\ \frac{1}{14} + \frac{3 Z}{14} \\ Z \end{array}]$